《高等数学A1》课程思政案例——洪光焱
“课程思政”案例设计
案例名称：复合函数的导数
主讲教师：洪光焱
课程名称：高等数学A1
课程性质：公共基础课
适用专业：工科各本科专业
所属类别：理学
一、课程简介
《高等数学A1》是工科类各本科专业的通识必修课，具有较强的理论性、抽象性和应用性，是培养高层次科技人才数学素养的基础课程。该课程介绍一元函数微积分及其应用的基础知识，训练学生的基本运算技能和思维能力。主要内容包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、微分方程等。
二、思政元素挖掘与思政素材选取
适时介绍相关的数学史知识，激励学生学习科学家勇于探索、追求卓越的创新精神，培养实事求是、谦逊严谨的治学态度。综合运用各种教学方法，引导学生体会和欣赏数学中的形式美、理性美，激发学习热情，陶冶审美情操。关注数学基本概念之间的联系，帮助学生进一步树立辩证唯物主义的价值观念。
三、课程思政案例设计与实施
1.案例教学目标
掌握复合函数求导数的链式法则，培养严谨细致的治学态度。
2.教学方法
以讲授法为主，在定理推导和例题演示之后组织课堂练习，使用多媒体课件展示相关素材。
3.教学过程
首先，复习回顾函数算术运算的求导法则和反函数的求导法则。可以采用提问的方式，引导学生一起回顾。接着，引入复合函数求导的链式法则，讲解该法则的推导证明。再而，列举两个例题，演示链式法则的使用方法。最后，组织课堂练习，训练学生运用链式法则的技巧，巩固学习效果。
定理：设函数在点处有导数，函数在点处有导数，则复合函数在点处有导数，且
证明：设自变量在点处有增量，相应的函数和分别有增量：
其中．因为函数在点处有导数，从而它在该点处连续，所以当时．以下分两种情况讨论：
根据极限的保号性质，当足够小时，保持一定的正负符号，此时．应用复合函数的极限定理，有
于是
由于，根据极限的有界性质，当足够小时，
其中为某个常数．因此，当足够小而异于时，有
上述不等式对明显也是成立的，也就是说上述不等式对足够小的都成立．注意到，当时，这意味着只要足够小，就能满足前面的要求．于是，当足够小时，
当时，上式右端是趋于的，从而左端也趋于．因此
前述两种情形，都证明了是复合函数在点处的导数．
例题1：求函数的导数．
例题2：设函数有导数，且，则（对数导数）
练习1：求双曲正弦函数及其反函数的导数．
练习2：求函数的导数．更一般地，求幂指数式的导数．
4.课程思政内容及融入方式
在讲解导数链式法则的严格推导证明之后，对比某些教材给出的不完整证明，提醒学生注意其中复合函数极限定理的应用细节，训练学生的逻辑推理能力，培养学生严谨的科学精神。
5.教学效果分析及教学反思
本案例呈现复合函数求导法则的教学，在讲解数学定理的严格推导过程中，自然地融入严谨细致的治学态度的培养引导。经过教学实践，学生能比较完整地掌握相应的知识点，基本达到预期的教学目标。
图1 理论讲解
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图2 例题演示
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图3 课堂练习
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